در ادامه مجموعه مقالات آموزشی روش تفاضلات محدود، پس از تقسیم بندی معادلات دیفرانسیل جزئی (PDE) همانگونه که در مقاله روابط حاکم بر روش تفاضلات محدود، توضیح داده شده است، در روش تفاضلات محدود برای محاسبه­ ی مقدار تابع در یک نقطه، از مقدار تابع در سایر نقاط اطراف گره مورد نظر استفاده می­ شود. استفاده از سایر نقاط، به یکی از صورت­ های پیش ­رونده، میانی و یا پس­ رونده صورت می­ گیرد. با توجه به نوع انتخاب نقاط و در حالت کلی می ­توان، روش­ های حل معادلات دیفرانسیل با استفاده از روش تفاضلات محدود را به دو روش صریح و ضمنی تقسیم بندی نمود.

 

روش صریح (Explicit)

با ذکر یک مثال ساده، روش صریح را توضیح می ­دهیم. معادله­ ی یک بعدی موج را بصورت زیر در نظر بگیرید.

 

 

 

 

 

این معادله را با هر یک از روش­ های پیش ­رو، پس­ رو و میانی که در مباحث پیشین مطرح شد، می ­توان حل نمود. با ترکیب روش ­های پیش ­رو، پس ­رو و میانی در دو طرف معادله فوق، روش ­های متعددی برای حل معادله بدست خواهد آمد.

با استفاده از روش پیش ­رو در سمت راست معادله خواهیم داشت:

 

 

 

 

 

قسمت سمت راست معادله همانند توضیحات ارایه شده در قسمت تقریب تفاضلات پیش ­رو می ­باشد. اما در قسمت سمت چپ معادله، بالانویس­های t و t+Δt، گام­ های زمانی حل معادله را نشان می ­دهند. در واقع در سمت چپ معادله، تقریب پیش ­رو در حوزه زمان و در سمت راست معادله در حوزه مکان بکار رفته است.

حال اگر برای معادله فوق نقاط ux و ux+Δx که در سمت راست معادله قرار دارند را، در لحظه زمانی t انتخاب کنیم، معادله تنها یک مجهول در سمت چپ در لحظه t+Δt خواهد داشت. در این صورت یک معادله و یک مجهول خواهیم داشت که به راحتی قابل حل است.

حل ترسیمی معادله فوق بصورت شکل زیر می ­باشد. همانگونه که در شکل نیز مشخص است، تمامی مقادیر موجود در گام زمانی t بصورت شرایط اولیه و یا مقادیر محاسبه شده در گام زمانی پیشین در اختیار می ­باشد و باید مقادیر موجود در گام زمانی t+Δt را محاسبه نمود. این عمل با استفاده از معادله ارائه شده به راحتی امکان ­پذیر می­ باشد.

 

 

حال با استفاده از روش پس­ رو در سمت راست معادله، به حل معادله ساده موج یک بعدی می­ پردازیم.

 

 

 

 

 

 

 

در این روش مقادیر نقاط در گام زمانی t-Δt بعنوان مقادیر اولیه و یا محاسبه شده در گام زمانی پیشین در اختیار می­ باشد و با استفاده از معادله ارایه شده، به راحتی می­ نوان مقدار را محاسبه نمود.

و در نهایت با استفاده روش تقریب تفاضلات میانی در سمت راست معادله خواهیم داشت:

 

 

 

 

 

در این روش از سه نقطه با مقدار معلوم در گام زمانی t برای محاسبه مقدار نقطه x در گام زمانی t+Δt استفاده شده است. این معادله نیز به دلیل اینکه تنها یک مجهول دارد، به راحتی قابل حل است. نکته مهم در مورد این روش، استفاده از سه نقطه برای تقریب زدن مقدار در گام زمانی بعدی می ­باشد در حالیکه در دو روش پیشین از دو نقطه استفاده شده است. استفاده از نقاط بیشتر از یک طرف باعث افزایش دقت تقریب و از طرف دیگر باعث افزایش حجم محاسبات و در نتیجه افزایش زمان محاسبات خواهد شد.

 

روش ضمنی (Implicit)

در روش صریح برای حل معادلات دیفرانسیل یک نقطه در گام زمانی مجهول (t+Δt) و سایر نقاط در گام زمانی معلوم (t) قرار داشتند. به همین دلیل در روش صریح با تنها یک معادله، یک مجهول محاسبه خواهد شد. اما در روش ضمنی غیر از یک نقطه، سایر نقاط در گام زمانی مجهول (t+Δt) قرار دارند. در این حالت با داشتن یک معادله و چندین مجهول نمی ­توان مقادیر مجهول در نقاط را بدست آورد. برای محاسبه مقادیر در گام زمانی مجهول (t+Δt)، باید معادلات را برای تمامی گره­ های موجود در گام زمانی مجهول (t+Δt) نوشت و بصورت یکجا و ماتریسی حل کرد. در واقع با حل دستگاه n (تعداد نقاط با مقادیر مجهول) معادله و n مجهول می­ توان تمامی مقادیر را محاسبه نمود. این روش به این دلیل که معادلات را بصورت یکجا حل می­ کند، نسبت به روش صریح، از دقت بالاتری برخوردار خواهد بود اما حجم محاسبات و زمان تحلیل بیشتری دارد.

روش ­های گفته شده در روش صریح برای حل معادله موج تک بعدی را برای روش ضمنی نیز شرح می­ دهیم. ابتدا معادله موج یک بعدی را به روش پیش ­رو در حوزه مکان بصورت زیر حل می­ کنیم:

 

 

 

 

 

همانگونه که گفته شد در روش ضمنی همه نقاط غیر از یک نقطه در گام زمانی مجهول (t+Δt) قرار دارند. در معادله موج یک بعدی نیز نقاط ذکر شده در سمت راست معادله را در گام زمانی (t+Δt) در نظر می­ گیریم (این نقاط در روش صریح در گام زمانی t در نظر گرفته می­ شدند.). ترسیم رابطه فوق بصورت شکل فوق امکان ­پذیر است. در شکل نیز دو مجهول و یک معلوم مشخص است.

حال با استفاده از روش پس­ رو در حوزه مکان، معادله موج یک بعدی را بررسی می­ کنیم:

 

 

 

 

 

در این معادله، تمامی نقاط سمت راست معادله در گام زمانی (t+Δt) در نظر گرفته می­ شوند. همانگونه که در شکل مشخص است، در این معادله نیز یک معلوم و دو مجهول وجود دارد.

بررسی معادله موج یک بعدی با روش تقریب میانی در حوزه مکان:

 

 

 

 

 

در این رابطه نیز مقادیر نقاط موجود در سمت راست معادله، در گام زمانی t+Δt قرار دارند.

دیدگاهتان را بنویسید

آدرس ایمیل شما منتشر نخواهد شد. فیلدهای مورد نیاز با * مشخص شده است

نوشتن دیدگاه