برای حل معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی که در مقاله تقسیم بندی معادلات دیفرانسیل جزئی مورد بحث و بررسی قرار گرفته­ اند، راه حل­ های تحلیلی و روش­ های عددی متعددی وجود دارند. راه حل­ های تحلیلی بعلت پیچیدگی و بالا بودن حجم معادلات، عملا برای معادلات سنگین و یا برای تحلیل مسایل با دامنه بزرگ، مناسب نمی ­باشند و باید از روش ­های عددی برای حل این معادلات استفاده کرد. روش­ های عددی متعددی برای حل معادلات دیفرانسیل وجود دارد. اولین روش ارایه شده برای حل این معادلات که سابقه­ ی بسیار زیادی نیز دارد و جزو اولین روش ­های عددی بکار رفته نیز به شمار می­ آید، روش تفاضلات محدود می ­باشد.در این مقاله به بررسی روش تفاضلات محدود و حل معادلات دیفرانسیل با این روش می­ پردازیم.

 

استخراج روابط حاکم بر روش تفاضلات محدود

برای بدست آوردن روابط اساسی روش تفاضلات محدود، از سری تیلور استفاده می­ شود. سری تیلور نمایش یک تابع بصورت مجموع بی­نهایت جمله است که از مشتق­ های تابع در یک نقطه بدست می ­آید. سری تیلور هم­چنین می ­تواند مقدار خطای ناشی از تقریب زنی یک تابع حول یک نقطه را محاسبه کند. سری تیلور را برای محاسبه ­ی مشتق مرتبه اول و مراتب بالاتر یک تابع فرضی f(x) حول نقطه ­ی x، می ­توان با استفاده از مقادیر موجود در نقاط اطراف نقطه ­ی x نوشت. با توجه به وجود مقادیر کمتر و بیشتر از x، می­ توان سری تیلور را حول نقاط با مقادیر بیشتر، کمتر و یا هر دو مقدار، بصورت روابط 1 الی 3 نوشت:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

اولین رابطه­ ی ذکر شده مربوط به سری تیلور تابع f(x) حول نقطه ­ی x و با استفاده از مقادیر بیشتر از x می­ باشد. رابطه ی دوم نیز مربوط به سری تیلور تابع f(x) حول نقطه ­ی x و با استفاده از مقادیر کمتر از x می­ باشد. رابطه ­ی سوم که از تفاضل دو رابطه ­ی اول حاصل می­ شود، عبارت است از سری تیلور تابع f(x) با توجه به نقاط دو طرف آن.

 

روش تقریب تفاضلات پیش­ رونده

برای حل معادلات جزئی نیاز است مقادیر مشتق­ های جزیی تابع، در مراتب مختلف مشخص باشد. برای بدست آوردن این مقادیر از سری­ های تیلور ارایه شده، استفاده می­ شود. چنان چه از رابطه­ ی اول استفاده شود، مقادیر بدست آمده برای مشتقات جزیی به “تقریب تفاضلات پیش ­رونده” موسوم خواهد بود (رابطه4).

 

 

 

 

با انتقال عبارت مربوط به مشتق مرتبه اول به سمت چپ معادله خواهیم داشت (رابطه5):

 

 

 

 

با توجه به فرض نزدیکی نقاط مجاور x (Δx)، می ­توان توان­ های بالاتر Δx را بعنوان تقریب معادله در نظر گرفت و بصورت عبارت O(Δx) نشان داد (رابطه6).

 

 

 

 

در این روش در واقع مشتق تابع f(x) با استفاده از نقاط با مقادیر بیشتر از x، تقریب زده می­ شود. ترسیم رابطه فوق بصورت زیر می ­باشد.

 

برای تقریب مشتقات بالاتر با استفاده از روش تقریب تفاضلات پیش ­رونده نیز بصورت روابط 7 و 8 عمل می­ کنیم:

 

 

 

 

 

 

در ادامه روش تقریب تفاضلات پس رونده و میانی توضیح داده شده است.

 

روش تقریب تفاضلات پس ­رونده

روش دیگر برای محاسبه شیب تابع در یک نقطه مشخص، استفاده از روش “تقریب پس ­رونده” می­ باشد. در این روش از سری تیلور در نقطه x و نقاط با مقادیر کمتر از x استفاده می­ شود. بر طبق رابطه 2 و به مانند روش تقریب پیش­رونده، چنان چه عبارت مشتق مرتبه اول را به سمت چپ معادله منتقل کنیم خواهیم داشت (رابطه9):

 

 

 

 

در این رابطه نیز بعلت ناچیز بودن توان­ های بالاتر Δx، می­ توان از مقدار آن­ها چشم پوشی کرد و توان­ های بالاتر Δx را بعنوان تقریب معادله در نظر گرفت (رابطه10).

 

 

 

 

 

طبق رابطه 10، مقدار عبارت مشتق مرتبه اول بصورت زیر محاسبه می­ شود.

 

مقادیر مشتقات مراتب بالاتر نیز به همین صورت و با انتقال عبارت مورد نظر (مشتق جزئی مورد نظر) به سمت چپ معادله 2 حاصل خواهد شد. این مقادیر برای مشتق ­های مرتبه دوم و سوم بصورت روابط 11 و 12 بدست می­ آیند.

 

روش تقریب تفاضلات میانی

همانگونه که گفته شد، در روش تفاضلات محدود، سعی بر جایگزینی عبارات شامل مشتقات جزئی با عباراتی قابل حل بر اساس سری تیلور می ­باشد که البته جواب بدست آمده بعلت ساده سازی و نادیده گرفتن مشتق ­های مراتب بالاتر تقریبی خواهد بود.

یکی دیگر از روش ­های تقریبی، روش “تقریب تفاضلات میانی” است. در این روش، شیب تابع در نقطه مورد نظر، با استفاده از مقدار تابع در دو نقطه در اطراف نقطه مورد نظر محاسبه می­ شود. طبق رابطه 3، معادلات 13 و 14 بصورت زیر بدست می آیند:

 

 

 

 

 

 

 

معادله 14 را می­ توان مانند شکل زیر ترسیم نمود.

 

مشابه با روش­ های تقریب پیش ­رونده و پس ­رونده، در این روش نیز مشتقات جزئی مراتب بالاتر قابل محاسبه می ­باشد و مقادیر آن­ها بصورت روابط 15 و 16 قابل محاسبه است.

دیدگاهتان را بنویسید

آدرس ایمیل شما منتشر نخواهد شد. فیلدهای مورد نیاز با * مشخص شده است

نوشتن دیدگاه