معادلات دیفرانسیل با توجه به ویژگی­های متعددی که دارند، در تقسیم­ بندی­ های مجزایی قرار می­ گیرند. اهمیت این تقسیم ­بندی­ ها به خصوص زمانی اهمیت پیدا می­ کند که برای هر یک از این دسته ­ها راه ­حل  ­های عددی متفاوتی وجود دارد. بنابراین برای انتخاب راه­ حل مناسب برای حل یک معادله ­ی دیفرانسیل جزئی، ابتدا باید نوع معادله مشخص شود و بعد راه ­حل مناسب با توجه به نوع معادله انتخاب شود.

 

تقسیم بندی از نظر درجه معادلات

معادلات دیفرانسیل جزئی در دو دسته کلی خطی و غیرخطی تقسیم­ بندی می ­شوند. در معادلات دیفرانسیل جزئی خطی، متغیر وابسته و مشتقات آن بصورت خطی درمعادله وجود دارند و عباراتی که حاصل ازترکیب غیرخطی متغیر وابسته باشد دیده نمی­ شود. به عنوان مثال معادله موج یک بعدی نمونه ­ی یک معادله دیفرانسیل جزئی خطی می­ باشد. (رابطه شماره1)

 

 

 

 

در معادلات دیفرانسیل جزئی غیرخطی، ترکیب غیرخطی متغیر وابسته و مشتقات آن در معادله وجود خواهد داشت و باعث رفتار غیرخطی معادله خواهد شد. (رابطه شماره2)

 

 

 

 

 

 

به عنوان مثال معادله ­ی لاپلاس و معادله ­ی برکر، نمونه­ های معادلات غیرخطی می­ باشند.

 

تقسیم ­بندی معادلات دیفرانسیل جزئی درجه دو

برای تقسیم­ بندی معادلات دیفرانسیل درجه2، حالت کلی این معادلات را به صورت زیر در نظر می­ گیریم: (رابطه شماره3)

 

 

 

 

در رابطه ­ی بالا، حروف G،F، E ،D ،C ،B، A توابعی بر حسب x، y و Φ هستند و Φ نیز خود تابعی از x و y می ­باشد.

علاوه بر رابطه شماره3 با در نظر گرفتن روابط زیر و در نظر گرفتن 3 معادله می ­توان راه­ حلی برای معادله ­ی اساسی رابطه­ شماره1 بدست آورد: (رابطه شماره4)

 

 

 

 

 

 

برای راحتی کار و یکنواخت بودن ظاهر معادلات، معادله ­شماره3 را نیز به صورت زیر بازنویسی می­کنیم: (رابطه شماره5)

 

 

 

 

 

 

 

حال معادلات 4 و 5 را به صورت دستگاه معادلات در نظر گرفته و با استفاده از روش کرامر، این دستگاه را حل می­ کنیم: (رابطه شماره6)

 

 

 

 

 

 

 

 

با مساوی صفر قرار دادن مخرج کسر، خواهیم داشت: (رابطه شماره7)

 

 

 

 

 

 

با محاسبه­ دترمینان رابطه ­ی 6 به معادله زیر می­ رسیم: (رابطه شماره8)

 

 

 

 

 

با حل معادله­ 7 با روش ∆ خواهیم داشت: (رابطه شماره9)

 

 

 

 

 

تعداد جواب ­های معادله 8 به علامت B2-4AC بستگی خواهد داشت. علامت B2-4AC تعیین کننده ­ی نوع معادله نیز خواهد بود و با توجه به علامت این عبارت، معادله­ ی دیفرانسیل 3 می ­تواند در هر یک از 3 دسته­ ی زیر قرار گیرد. (رابطه شماره10)

 

 

 

 

 

 

 

در ادامه به بررسی هر یک از انواع معادلات فوق پرداخته شده است.

 

معادلات بیضوی

همانطور که در قسمت قبل ذکر شد، معادلات دیفرانسیل جزئی با توجه به ضرایبشان تقسیم ­بندی می­ شوند. درصورتیکه B2-4AC<0 باشد، معادله از نوع بیضوی خواهد بود. معادلات لاپلاس و پواسون نمونه  ­هایی از معادلات بیضوی می ­باشند. (رابطه شماره11)

 

 

 

 

 

 

دامنه ­ی مورد بررسی برای معادلات بیضوی یک ناحیه ­ی بسته مطابق شکل زیر خواهد بود. برای حل معدلات بیضوی داشتن یک شرط مرزی کفایت می ­کند و نیازی به شرایط اولیه نمی ­باشد.

معادلات سهموی

در صورتیکه معادله ­ی دیفرانسیل به صورت مرتب نوشته شود و ضرایب معادله، شرط B2-4AC=0 را ارضا نمایند، معادله از نوع سهموی می باشد. دامنه­ ی حل برای معادلات سهموی یک ناحیه­ ی باز مانند شکل 2 می­ باشد.

 

همانطور که در شکل نشان داده شده است، برای حل یک معادله ­ی سهموی به یک شرط اولیه و دو شرط مرزی نیاز می ­باشد. حل معادله در گام اول با مقادیر شرایط اولیه آغاز و با شرایط مرزی ادامه پیدا می  ­کند.

 

معادلات هذلولوی

در صورتیکه ضرایب معادله دیفرانسیل در رابطه B2-4AC>0 صادق باشد، معادله از نوع هذلولوی می­ باشد. معادله موج درجه2 نمونه­ ای از یک معادله هذلولوی می­ باشد. (رابطه شماره12)

 

 

 

 

 

برای حل یک معادله ­ی هذلولوی درجه2، به دو شرط اولیه و شرط مرزی نیاز می ­باشد.

1 دیدگاه

  1. من ی سوال داشتم. برای معادله دیفرانسیل های هذلولوی ی راه به اسم دالامبر هست که بدون شرایط مرزی تابع u رو بدست میآورد.
    واسه معادله های بیضوی چجوری میشه این کار رو کرد ؟

دیدگاهتان را بنویسید

آدرس ایمیل شما منتشر نخواهد شد. فیلدهای مورد نیاز با * مشخص شده است

نوشتن دیدگاه